PARADOXES of CONTINUUM MECHANICS and contiguous fields of knowledge (2003 preprint , 2005 - Ukraine, 2009 - Germany) (edit title/settings)

The foreword of the scientific editor to a manual's pre-print
...В истории науки известны удивительные случаи, когда хорошо известные положения в одной ветви знаний либо умалчиваются, либо практически не обсуждаются в достаточно близкой, но другой области знаний. Доцент Козачок А. А. обратил внимание, что именно так обстоит дело в двух близких областях физики – гидродинамике и механике деформируемого твердого тела....
Академик Национальной Академии Наук Украины
В. Г. Барьяхтар

The foreword of the author to a manual's pre-print
...С сомнениями молодого Л. Д. Ландау, взятыми в качестве эпиграфа, созвучны и те упреки, которые пришлось услышать автору этих строк от высокоэрудированных специалистов в области механики деформируемого твердого тела в процессе их первого знакомства с основными положениями, излагаемыми в учебном пособии. В подытоженном виде эти упреки сводятся к тому, что механика вообще и теория упругости в частности, как фундаментальная наука, уже исчерпала себя, поскольку ее основные принципы были сформулированы еще в 18-19 в. в. и временем подтвердили свою незыблемость. Из фундаментальной развивающейся науки механика якобы давно превратилась в консервативную, прикладную область знаний, о чем, например, свидетельствует содержание и даже само название международного журнала «Прикладная механика», издаваемого Национальной Академией Наук Украины. Поэтому пересмотр фундаментальных устоев механики, который якобы навязывает автор пособия, по мнению профессионалов – дело неблагодарное, а скорее всего – удел дилетантов и авантюристов.
Для такого сорта эпитетов и оценок, видимо, сам автор дал повод вызывающими, по мнению некоторых профессионалов, названиями своих статей: «Парадоксы классических решений волнового уравнения», «Парадоксальные особенности фундаментальных классических уравнений динамики деформируемых сред», «Сомнительные принципы подхода к отождествлению переменных Эйлера и Лагранжа в динамике деформируемых сред»... Однако необходимо отдать должное большинству профессионалов, сперва отрицательно воспринявших суждения автора, за терпение, способность разобраться по существу, за проявленное мужество после длительных дискуссий все же принять точку зрения автора...

The foreword of the author to the expanded manual's edition
...С момента публикации первой статьи «Парадоксы классических решений волнового уравнения» в 2000 г. прошло достаточно много времени. Первоначальные категорические утверждения оппонентов по поводу нелепости основных ее положений и выводов уже остались позади. Процесс признания прошел все три традиционных этапа: категорическое отрицание, постепенное восприятие и, наконец, отрицание существенной роли автора в формулировании, сперва казавшихся нелепыми, выводов....

Introduction
...Характерной особенностью пособия является его направленность на развитие у читателя способностей критически воспринимать изучаемые теоретические положения и пытаться их переосмыслить даже в тех случаях, когда эти положения сформулированы нашими выдающимися предшественниками и представляются бесспорными. Именно поэтому изложение материала выполнено по принципу критического сопоставления со ссылками на первоисточник, в котором высказывается полярная точка зрения. Такой подход, по мнению автора, призван содействовать развитию у студентов задатков творческого мышления и в конечном итоге должен поставить хотя бы какой-то заслон на пути тех возможных дефектов образования, которые в свое время были замечены в университетской системе Великобритании,– “…это ее способность плодить так называемых “грамотеев”, т. е. людей, лишенных творческих задатков, но обладающих хорошей памятью и эрудицией. Эти люди в университете получают высокие ученые степени, но потом приносят очень мало пользы…” (Образованный ученый. Пер. с англ.– М.: Наука, 1979 – с. 16, 17, 37–41,
Pippard А. В. The educated scientist. - Physics Bulletin, 1969, v. 20, p. 453.)....

Part 1. Questions of nonlinear dynamics of continuous medium
1.1. Doubtful nuances of the standard approach to an identification of Euler and Lagrange variables in dynamics of deformable medium
1.1.1. General provisions
1.1.2. A coordinate way of representation of the motion law
1.1.3. Representation of the motion law by means of a displacementvector
1.1.4. About unambiguity of mutual transformations of coordinates
1.1.5. Control questions
1.2. Features of an identification of the deformations which have been written down in Euler and Lagrange variables
1.2.1. General provisions
1.2.2. A coordinate way of representation of deformations
1.2.3. Representation of deformation through displacement
1.2.4. Doubtful features at record of deformations
1.2.5. Examples to items 1.1 and 1.2
1.2.6. Control questions
1.3. Features of representation of speeds and accelerations in Euler's and Lagrange variables
1.3.1. Representation of speed and acceleration in the coordinate form
1.3.2. Representation of speed and acceleration through displacement
1.3.3. Special forms of representation of speed and acceleration
1.3.4. Examples
1.3.5. Control questions
1.4. Paradoxical features of a leading-out of the motion equations
1.4.1. General provisions
1.4.2 Contradictions of a leading-out of the motion equations in Lagrange
variables
1.4.3. Features of a leading-out of the motion equations in Euler's variables
1.4.4. An estimation of weightiness of nonlinear terms
1.4.5. Contradictions of a leading-out of the classical equation of string fluctuations
1.4.6. The general conclusions
... достаточно распространенная или даже общепринятая точка зрения <2, стр. 176; 10, стр. 23, 40>, что уравнения механики деформируемого твердого тела могут быть изначально записаны с точностью до малых первого порядка в лагранжевой системе не соответствует действительности и требует пересмотра...
...Безоговорочная запись уравнений движения в лагранжевых переменных в классических трудах наших выдающихся предшественников <11, стр. 30, и др.>, по видимому, и привела к тому, что в современных университетских курсах по механике деформируемого твердого тела <14> она стала безальтернативной и поэтому переменные Эйлера даже не упоминаются...
... Поэтому, если исходить из рассмотренной в п. 1 допустимости отождествления переменных Эйлера и Лагранжа, то это не означает автоматическое появление такой же возможности для дифференцируемых величин и особенно для производных по времени t. Именно эта весьма существенная особенность, обычно выпадает из поля зрения и, несмотря на всю ее очевидность, не учитывается при записи основных уравнений в переменных Лагранжа <1, 7, 11 и др.>. В конечном итоге это и привело к устойчивому заблуждению, что в теории малых деформаций среды «метод Лагранжа приводит к весьма простым и наглядным результатам» <1, стр. 57> в виде линейных уравнений движения. На самом же деле сомнительная простота связана с подменой дифференцирования по подвижной координате х дифференцированием по не зависящей от времени координате...
...При опускании нелинейных членов особое внимание следует обратить на то, что они должны быть малыми по сравнению с наименьшим членом, который остается в уравнении...
...Таким образом, недоразумения, связанные с кажущейся корректностью записи (1.4.5), обусловлены необоснованной, безоговорочной заменой подвижных координат х неподвижными х0 с вытекающими отсюда последствиями, когда полная производная по времени в результате трудноуловимых манипуляций превращается в частную, создавая обманчивую видимость простоты записи уравнений движения в лагранжевых переменных.
Как вытекает из п. 1.4.5, традиционное линейное уравнение колебаний струны тоже имеет более ограниченную, чем принято считать, область применения. Малый угол отклонения является лишь необходимым условием применимости уравнения. Но только при большом предварительном натяжении это условие оказывается достаточным. В противном случае уравнение колебаний струны становится нелинейным. Решение такого уравнения представляет собой самостоятельную проблему.

1.4.7. Examples
1.4.8. Control questions
1.5. Methodology of an estimation of an error of the three-dimensional motion equations in the classical theory of elasticity (the Lame's equations)
1.5.1. General provisions
1.5.2. Representation of the common solution of the Lame's equations
1.5.3. An estimation of an error of the three-dimensional wave equation
1.5.4. An estimation of an error of the Lame's equations
1.5.5. Control questions
1.6. Paradoxes of classical solutions of the wave equation
1.6.1. Free longitudinal vibrations of a rod
1.6.2. The compelled vibrations of a rod under action of suddenly enclosed constant force
1.6.3. Vibrations at a sudden stop of one end of the rod moving with constant velocity
1.6.4. A problem about longitudinal impact on the free end of a rod
1.6.5. About infringement of a principle of superposition of particular solutions
1.6.6. Doubtful "paradox" of absence of solutions at a resonance
1.6.7. Characteristic attributes of the paradoxical solutions received by Fourier method
1.6.8. Control questions
1.7. Historical roots of mathematical paradoxes and of physically senseless exact solutions of classical problems
...Ключ к объяснению упомянутых выше математических недоразумений, по-видимому, следует искать прежде всего в особенности поведения рядов Фурье на границах области сходимости, где исходная функция и представляющий ее ряд иногда, особенно с учетом явления Гиббса <24, стр. 494–497>, имеют различные значения. К сожалению, на это обстоятельство почему-то очень редко обращают внимание. В результате, как мы уже видели, решения многих задач, полученные методом Фурье, оказались фактически непригодными для практического применения. Несогласованные, т. е. фактически разрывные, краевые условия, привели в нашем случае к своеобразному динамическому решению, к которому, как почему-то оказалось, можно перейти и от статического решения (1.6.8). Этот переход выполнен общепринятым <6, стр. 95; 13, стр. 244>, но, скорее всего, некорректным способом, без надлежащего анализа областей сходимости рядов и их производных, которые могут и не совпадать... Примечательно, что именно такого рода физические абсурды присущи решениям тех классических задач, при постановке которых принимались или несогласованные, или разрывные, или недифференцируемые требуемое число раз начальные условия. В этом перечне находится большинство задач о колебаниях струны, стержня, мембраны.
Возникает законный вопрос: почему же все-таки в упомянутых задачах нарушено, а, может быть, и проигнорировано общепринятое с незапамятных времен правило о непрерывности и дифференцируемости требуемое число раз функций, используемых для описания начальных и граничных условий. Причем в некоторых современных учебных пособиях это правило считается необязательным <19, стр. 43>, а решения, найденные в таких случаях, получили название обобщенных <6, стр. 63>, хотя хорошо известно <6, стр. 63, 88>, и это мы уже видели на примере (1.6.8), что решения в классическом смысле не существует. Что же касается обобщенных решений, а в рассмотренных в п. п. 1.6.1–1.6.4 примерах они действительно являются таковыми, то их наглядная физическая интерпретация с соответствующими комментариями уже продемонстрирована на рис. 1.4, 1.6, 1.8. Но, к сожалению, эта картина ранее никем не была замечена (а может быть, только не освещена в публикациях), и поэтому рассмотренные выше решения, причисленные к разряду точных, заняли первые места среди типовых учебных задач, как классические.
Причина создавшегося положения имеет глубокие исторические корни, уходящие к середине 18 века, и связана с фактически незавершенным длительным «спором о струне» между Даламбером и Эйлером <25, стр. 150–155>. К этой дискуссии в дальнейшем подключились Бернулли Д. и Лагранж. «Даламбер считал, что при произвольной начальной форме струны решать задачу нельзя: требуется гладкость струны, ввиду того что решение должно быть дважды дифференцируемым» <25, стр. 151>. Эйлер не соглашался с Даламбером относительно произвольных функций, входящих в решение уравнения (имеется в виду (1.4.7)). Он рассуждал так: начальная форма струны может быть любой, представлять кривую, начерченную «свободным влечением руки», поэтому можно задавать начальное положение не одним, а несколькими выражениями и даже разрывной функцией <25, стр. 150>. Такие взаимоисключающие точки зрения Даламбера и Эйлера в конечном итоге привели к тому, что в современной учебной литературе появились несовместимые выводы,..

References
1. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. – Изд-во Моск. ун-та, 1971.–247 с.
2. Седов Л. И. Механика сплошной среды, т.1. Учебник для университетов.– М.: Наука, 1970.– 492 с.
3. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. Пер. с англ. – М.: Мир, 1975.– 592 с.
4. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред.– М.: Гостехтеориздат, 1955.– 271 с.
5. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики, т. 2. Учебное пособие для университетов.– М.: Наука, 1977.– 544 с.
6. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Учебное пособие для университетов.– М.: Наука, 1972.— 736 с.
7. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. Учебник для втузов.– М.: Высшая школа, 1968.– 512 с.
8. Бабаков И. М. Теория колебаний. Учебное пособие для втузов.– М.: Наука,1968.– 560 с.
9. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические волны в упругих телах.– К.: Наукова думка, 1981.– 284 с.
10. Гузь А. Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости.– К.: А.С.К., 1998.– 350 с.
11. Тимошенко С. П. Курс теории упругости.– К.: Наукова думка, 1972.– 507 с.
12. Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ.– М.: Машиностроение, 1985.– 472 с.
13. Василенко Н. В. Теория колебаний. Учебное пособие для втузов.– К.: Вища школа, 1992.– 430 с.
14. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. Учебное пособие для университетов.– М.: Наука, 1979.– 744 с.
15. Борисенко А. Н., Тарапов Н. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. Учебное пособие для втузов.– Харьков: Изд-во Харьк. ун-та.– 1972.– 255 с.
16. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ч. 2. Пер. с нем.– Л.– М.: ОНТИ, 1937.– 998 с.
17. Ватсон Дж.,Н. Курс современного анализа, ч.2. Пер. с англ.–М.:Физматгиз,1963.–516с.
18. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. Учебное пособие для университетов и пединститутов.– М.: Наука, 1969.– 608 с.
19. Араманович Н. Т., Левин В. И. Уравнения математической физики. Учебное пособие для втузов.– М.: Наука, 1969.– 288 с.
20. Козачок А. А. Парадоксы классических решений волнового уравнения. Вестник НТУУ «КПИ», «Машиностроение», 2000.– Вып. 38, т. 2.– с. 124-133.
21. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Пер. с англ.– М.: Наука, 1966.–228 с.
22. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. Учебное пособие для университетов.– М.: Наука, 1972.– 688 с.
23. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. Учебное пособие для втузов.– М.– Л.: Гостехтеориздат, 1959.– 400 с.
24. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3. Учебное пособие для университетов и педагогических институтов.– М.: Наука,
1969.– 656 с.
25. Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли,– М.: Наука, 1984.– 177 с.
26. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошной среды.– М.: Гостехтеориздат,
1954.–795 с.
27. Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики.– М.: «Наука», 1975.– 288 с.
28. Козачок А. А., Парадоксальные особенности фундаментальных классических уравнений динамики деформируемых сред. Вестник НТУ «ХПИ», 2001.– Вып. 129,
т. 1, с. 272–283.
29. Козачок А. А. Сомнительные принципы подхода к отождествлению переменных Эйлера и Лагранжа в динамике деформируемых сред. Вестник НТУУ «КПИ», 2002, «Машиностроение»,– Вып. 42, т. 1, с. 50-53.

Part 2. New approaches to statements and solutions of some classical problems for the wave equation
2.1. Improbable physical misunderstanding of traditional mathematical statements of classical problems about vibrations of elastic bodies
2.1.1. Introduction remarks
... хорошо известно <1>, что передний фронт упругой волны движется с определенной скоростью , именуемой скоростью звука в данной среде. Такие, вполне правдоподобные представления, казалось бы, должны привести к выводу, что при математической постановке задачи о распространении волн в ограниченном объеме вначале необходимо рассматривать две, принципиально отличающиеся по условиям нагружения, области среды – возмущенную и невозмущенную. Подобные постановки относятся к ряду чрезвычайно сложных задач о деформировании взаимодействующих упругих тел и с подвижными границами, и с переменной массой. Поэтому исходные уравнения, а также начальные и граничные условия, должны формулироваться для связанных упругих полей переменных масс возмущенной (динамической) и невозмущенной (статической) областей. На самом же деле при математической постановке многих таких задач, ставших уже классическими и вошедших в учебники, почему-то сложилась труднообъяснимая ситуация. В научной и в учебной литературе в общем-то не отрицается, а даже подчеркивается <1, 3> упомянутая выше картина распространения возмущений. И тем не менее, там же <2, 3 и др.> упущена из виду необходимость учета этой картины путем обособленного рассмотрения возмущенной области, расширяющейся за счет присоединения массы из невозмущенной...

2.1.2.The plausible physical preconditions, incompatible mathematical statements and senseless solutions of some classical problems
2.1.3. Doubtful physical preconditions of traditional statements of problems about distribution of local indignations to elastic mediums
...Ошибочность упомянутых выше представлений о распространении волн в упругом теле можно пояснить хотя бы тем, что они базируются на сомнительном предположении об отсутствии расширяющейся возмущенной области из-за мгновенной остановки отклоненных частиц после возвращения их в исходное положение, соответствующее натянутой струне. На самом же деле в идеально упругом теле возмущения распространяются со скоростью звука и после прохождения возмущения через какую-либо точку за его задним фронтом возникает незатухающий колебательный процесс. И хотя в учебных пособиях по физическим основам механики, например <9, стр. 200–201> и даже в учебниках физики для средней школы уже сформулированы именно такие представления (рис. 2.3, б), в курсах же математической физики <4, 7 и др.> а также других университетских дисциплин все еще почему-то господствуют прежние, противоречащие физическому смыслу, взгляды о неизменной форме локальных возмущений в идеально упругом теле согласно рис. 2.3, а...

2.1.4. Brief conclusions
...физически бессмысленные решения многих классических задач, примеры которых рассмотрены в <5,6>, обусловлены несовместимыми с общепринятыми представлениями о распространении упругих волн математическими постановками. Такие постановки фактически представляют собой принудительное навязывание заведомо колебательной системе по сути статической начальной формы, от которой линейная система не способна самостоятельно освободиться. В лучшем случае эти решения в результате некорректных математических преобразований и благодаря процедуре искусственного продолжения лишь периодически повторяют первоначально заданную статическую форму, а после разложения в ряд Фурье создают обманчивую видимость наличия множества гармоник, хотя на самом деле противоречат принципу суперпозиции частных решений.

2.1.5. Control questions
2.2. The obvious simplified approach to statement and the solutions of a problem on free vibrations of a string
2.2.1. Preliminary remarks
2.2.2. A formulation of entry conditions
2.2.3. The solution of the linear homogeneous equation of string vibration
2.2.4. Transformation of the solution and the analysis of the new phenomena
2.2.5. Brief conclusions
2.2.6. Control questions
2.3. The simplified approach to statement and the solutions of a problem on free rod's vibrations with one fixed end
2.3.1. Preliminary remarks
2.3.2. A formulation of initial and boundary conditions
2.3.3. The solution of the wave equation
2.3.4. Effect of increase in loading on the fixed end
2.3.5. A tentative estimation of an error of the linear wave equation
2.3.6. Brief conclusions
2.3.7. Control questions
2.4. The compelled vibrations of a rod under action of suddenly enclosed constant force
2.4.1. Preliminary remarks
2.4.2. A formulation of initial and boundary conditions
2.4.3. The solution of the wave equation
2.4.4. The analysis of dynamic effects
2.4.5. Brief conclusions
2.4.6. Control questions
2.5. Vibrations of multimass discrete-continual systems with constant parameters
2.5.1. A condition of the question
2.5.2. Statement of a problem (longitudinal vibrations)
2.5.3. An integrated method of construction of determining equations for reactions of connections
2.5.4. The general equations of movement discretely - continual systems (longitudinal vibrations)
2.5.4,a. Examples
2.5.5. Distribution of an integrated method on rotating vibrations of discretely - continual systems
2.5.6. An estimation of an error of a method
2.5.7. The comparative analysis of some solutions for discrete- continual and discrete models
2.5.7.а. Kinematical analogy discretely - continual and discrete models
2.5.7.в. Special cases loading discretely - continual systems in a mode of free vibrations
2.5.7.с. Features of loading discretely - continual systems in a mode of the compelled vibrations
2.5.8. The analysis of own frequencies discretely - continual models
2.5.8.а. Examples
2.5.9. About the solution of "resonant" problems
2.5.10. An estimation of reliability of the basic results
2.5.11. Brief conclusions
2.5.12. Control questions
2.6. The motions equations of multimass discrete-continual systems with variable weights
2.6.1. A condition of a question
2.6.2. Statement of a problem
2.6.3. The output of the motion equation of a deformable rod with variable weight
2.6.4. The determining equations output for reactions of connections in view of initial deformations of attached parts
2.6.5. The general motion equations
2.6.6. An estimation of an error and reliability of the basic results
2.6.7. Examples of actual problems for practice
2.6.7.а. The equations of dynamics of colliery lift
2.6.7.в. The equations of dynamics of a shaft with mobile weight
2.6.8. Brief conclusions
2.6.9. Control questions
2.7. Distribution of an integrated method on three-dimensional objects
2.7.1. Averaging of a stress tensor components
2.7.2. The output of determining equations for a body as a whole
2.7.3. Examples
2.7.4. Brief conclusions
2.7.5. Control questions

References
1.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Учебное пособие для университетов.– М.: Наука, 1979.– 744 с.
2.Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ.– М.: Машиностроение, 1985.– 472 с.
3.Василенко Н.В. Теория колебаний. Учебное пособие для втузов.– К.: Вища школа, 1992.– 430 с.
4.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. Учебное пособие для университетов.– М.: Наука, 1972.– 688 с.
5.Козачок А.А. Парадоксы классических решений волнового уравнения. Вестник НТУУ «КПИ», «Машиностроение», 2000.– Вып. 38, т. 2.– с. 124-133.
6.Козачок А. А. Парадоксы механики сплошных сред. Часть 1. Вопросы нелинейной динамики сплошных сред.– К.: Політехніка, 2003.– 89 с.
7.Араманович Н. Т., Левин В. И. Уравнения математической физики. Учебное пособие для втузов.– М.: Наука, 1969.– 288 с.
8.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Учебное пособие для университетов.– М.: Наука, 1972.– 736 с.
9.Шебалин О.Д. Физические основы механики и акустики. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов.– М.: Высшая школа, 1981.– 261 с.
10.Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Пер. с англ.– М.: Наука, 1966.–228 с.
11.Козачок А.А. Новые уравнения динамики машин // The 4-th IFTOMM Intern. Symp. Theory and Practice of Mech.– Bucharest, Romania.– 1985.–vol. I-1.– P. 201–208.
12.Кухта К.Я., Кравченко В.П. Динамика непрерывно-дискретных систем.– К.: Наукова думка, 1978.– 131 с.
13.Исследование сложных непрерывно-дискретных систем / Кухта К.Я., Бойко А.Г., Гармаш Н.З. и др.– К.: Наукова думка, 1981.– 272 с.
14.Кожевников С.Н. Динамика нестационарных процессов в машинах.– К.: Наукова думка, 1986.– 288 с.
15.Єременко О.І. Розробка методів розрахунку машин з континуально-дискретними стержневими і замкнутими системами. Автореф. дис. канд. техн. наук: 05. 02. 09. НТУУ “КПІ”.– К, 1997.– 17 с.
16.Маслов Г.С. Расчеты колебаний валов. Справочник.– М.: Машиностроение, 1967.– 431 с.
17.Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. Учебник для втузов.– М.: Высшая школа, 1968.– 512 с.
18.Давыдов Б.Л., Скородумов Б.А. Статика и динамика машин.– М.: Машиностроение, 1967.– 431 с.
19.Бессонов А.П. Основы динамики механизмов с переменной массой звеньев.– М.: Наука, 1967.– 279 с.
20.Савин Г.Н., Горошко О.А. Динамика нити переменной длины.– К.: Изд-во АН УССР, 1962.– 332 с.
21.Савин Г.Н. Об основных уравнениях шахтного подъема каната (подъема груза) // Прикладная механика.– 1955.– 1, вып. 1.– С. 5–22.
22.Ишлинский А.Ю. Об одном интегро-дифференциальном соотношении в теории упругой нити (каната) переменной длины // Укр. мат. журн.– 1953.– № 4.– С. 370–374.
23.Савин Г.Н., Путята Т.В., Фрадлин Б.Н. Курс теоретической механики. Учебник.– К.: Вища школа, 1973.– 360 с.
24.Козачок А.А. Основные уравнения динамики машин с переменной структурой // Landtechnik: Wissenschuftliche zeitschriftder Wilhelm-Pieck-Universitat.– Rostock.– 1987.– N-Reihe 36.7.– S. 68–72.
25.Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных сред.– М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.– 368 с.
26.Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред.– М.: Наука, 1977.– 400 с.
27.Сендецки Дж. Механика композиционных материалов, т. 2. Пер. с англ.– М.: Мир, 1978.– 368 с.
28.Механика композитов (в 12 т) // К.: Наукова думка, 1993.–т. 3: Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффективные свойства материалов. – 380 с.
29.Козачок А.А. Новые подходы к постановке задач для волнового уравнения // Вісник Сумського державного університету. Сер. Технічні науки.– 2003.– № 12 (58).–

Epilogue
...К сожалению, обнаруженные парадоксы – не просто любопытные факты, которые уже получили объяснение во второй части пособия. Находящиеся фактически на поверхности, но почему-то не замеченные нашими предшественниками, они позволили занять место в учебниках сомнительным научным положениям фундаментального характера, усвоенным не одним поколением инженеров и научных работников. Поэтому ломка представлений, проникших в сознание в процессе инженерно-технического и особенно университетского образования, требует кропотливого труда и времени. С молодежью, свободной от бремени устоявшихся сомнительных представлений, дело обстоит проще. Несоизмеримо сложнее, согласно знаменитому высказыванию К. Трусделла, суметь «не потакать пресловутому нежеланию старцев учиться ничему новому» <3, стр. 11> особенно, когда приходится иметь дело с известными авторитетами, занимающими высокое положение в научном мире.
Автору в этом смысле пока заметно везло, поскольку большинство авторитетных ученых, с которыми пришлось дискутировать, не соответствовали пресловутой категории, упомянутой в изречении К. Трусделла. И, вероятно, только поэтому на убеждения пришлось потратить лишь три года, а не всю жизнь, как это часто бывало в истории науки. Определенное сопротивление, особенно после объяснения причины ( а точнее, физических недоразумений), с которым пришлось все же встретиться в процессе признания изложенных в пособии результатов, автор считает вполне естественным. Не так легко некоторым оппонентам, очевидно, признать, что научные положения, находящиеся в основе их собственных работ и считавшиеся непоколебимыми, требуют пересмотра, как недостаточно корректные или даже ошибочные. И тем не менее, выигрыш от такого признания существенно больше возможных моральных потерь, связанных с девальвацией части наследия линейной теории. Новые научные направления, которые открываются в области совершенно не исследованных нелинейных аспектов механики деформируемого твердого тела, лишний раз опровергают утверждения скептиков об отсутствии фундаментальных проблем в этой области знаний...